36. Знайдіть усі значення параметра \(a\), за яких рівняння \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) має єдиний корінь.
Рішення:
Розв'язати це рівняння можливо графічним або аналітичним методом, так як рішення графічним методом показано учасникам пробного ЗНО, я розв'яжу рівняння аналітично. Вважаю що цей метод в даному випадку є більш складний, але буде корисним для Вас.
Рівняння: \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) рівносильне системі:
\(\left\{\begin{array} \\ax-3\geqslant 0\\ {(ax-3)^2=-x^2+18x-72}\\ \end{array}\right.\)
\(a^2x^2-6ax+9=-x^2+18x-72\)
\(a^2x^2+zx^2-6ax-18x+9+72=0\)
\( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)
Квадратне рівняння має розв'язки, якщо \(D\geqslant 0\)
\(D={(6a+18)}^2-4\cdot81(a^2+1)=36a^2+216a+324-324a^2-324=-288a^2+216a=-72a(4a-3)\)
\( -72a(4a-3)\geqslant 0\)
\(a_1=0\)
\(a_2=\Large\frac{3}{4}\)
при \(a\in \left [0; \Large\frac{3}{4} \normalsize \right ]\) рівняння має розв'язки:
\(x_{1,2}=\Large \frac{6a+18±\sqrt{-288a^2+216a}}{2(a^2+1)}\),
Якщо \(D=0, a=0, a=\Large \frac{3}{4}\), то квадратне рівняння має один розв'язок.
Перевіримо умову \(ax-3\geqslant 0\). При \(a=0\) не виконується, так як \(0\cdot x-3 \leqslant 0\)
При \(a=\Large \frac{3}{4}\), маємо
\(\begin{matrix} \Large\frac{3}{4}\normalsize x-3 \geqslant 0 \\ 3x\geqslant 12 \\ x \geqslant 4 \end{matrix} \)
Підставимо \(a=\Large \frac{3}{4}\), \(x=\require{cancel} \Large \frac{6\cdot \LARGE \frac{3}{4} \Large+18}{2\left ( {\left (\LARGE\frac{3}{4}\Large\right )}^2+1\right )}\normalsize = \Large \frac{\LARGE\frac{9}{2}\Large +18}{2\left ( \LARGE\frac{9}{16}\Large+1\right )}\normalsize = \Large \frac{36}{5}\normalsize = 7,2\geqslant 4 \) - виконується при \(a=\Large \frac{3}{4}\)
Квадратне рівняння \( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)
матиме тільки один корінь також в випадку, якщо один з коренів задовольняє умові \(ax-3\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant\Large\frac{3}{a}\normalsize (a>0)\), а інший не задовольняє.
Розглянемо квадратичну функцію \(y=(a^2+1)x^2-(6a+18)x+81=0\)
\(x_1<x_2\) - корені тричлена, \(a^2+1>0\), \(x_1<\Large \frac{3}{a}\normalsize \leqslant x_2\). Тоді \(f\left (\Large \frac{3}{a}\normalsize \right) \leqslant 0\)
\(\begin{matrix}\Large \frac{9}{a^2} \normalsize \left ( a^2+1 \right ) - \Large \frac{3}{a}\normalsize \left ( 6a+18 \right ) + 81 \leqslant 0 \mbox{ | }\cdot a^2 ≠0 \\
9a^2+9-3a(6a+18)+81a^2\leqslant 0 \\ 9a^2-18a^2+81a^2+9-54a \leqslant 0 \\ 72a^2-54a+9 \leqslant 0 \\ 8a^2-6a+1 \leqslant 0\\ a_1=\Large \frac{1}{4}\normalsize , a_2=\Large \frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(a \in \left [\Large\frac{1}{4};\frac{1}{2}\normalsize \right ]\)
При \(a=\Large\frac{1}{4}\) маємо \(\left \{ \begin{array} \\ \Large\frac{x}{4}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 17x^2-312x+1296=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 12 \\ \left [ \begin{array} \\ x_1=12 \\ x_2=6\Large\frac{6}{7}\normalsize \mbox{ не задовольняє умові} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x_1=12 \mbox { - один корінь}\)
При \(a=\Large\frac{1}{2}\) маємо \(\left \{ \begin{array} \\ \Large\frac{x}{2}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 5x^2-84x+324=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 6 \\ \left [ \begin{array} \\ x_1=6 \\ x_2=10,8 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow \mbox { два корені}\)
Отже остаточно при \(a \in [0,25; 0,5)∪\{0,75\}\) рівняння має один корінь.
Відповідь: \( [0,25; 0,5)∪\{0,75\}\)
Коментарі
Дякую за вашу увагу і відгуки.
Бажаю всім гарно скласти ЗНО.
Хвилююсь за кожного.
Все буде добре!!!
Сподіваємося і надалі отримувати Ваші побажання та зауваження.
Стрічка RSS коментарів цього запису