Пробне ЗНО 2015. Математика

Деталі

Опубліковано: Вівторок, 31 березня 2015, 18:17

На цьому відео уроці ми розв'язуємо завдання пробного ЗНО з математики 2015р базового рівня (Завдання 1 - 30). Рішення задач поглибленого рівня (Завдання 31 - 36) виконані у текстовому вигляді і приведені нижче

Розв'язок завдань 1-30 (базовий рівень):

Розв'язок завдань 31-36 (поглиблений рівень):

31 завдання

31. Обчисліть значення виразу \(\Large\frac{a^3+b^3}{a+b}-\)\((a^2+b^2)\), якщо \(a=4^{\large\frac{7}{4}}, b=2^{\large\frac{1}{2}}\)

Рішення:

\(\Large\frac{a^3+b^3}{a+b}-\)\((a^2+b^2)\)= \(\require{cancel} \Large\frac{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}{\cancel{(a+b)}}-\)\((a^2+b^2)=\)\(a^2-ab+b^2-a^2-b^2=-ab\),

якщо \(a=4^{\large\frac{7}{4}}, b=2^{\large\frac{1}{2}}\), тоді \(-4^{\large\frac{7}{4}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\)\(-{(2^2)}^{\large\frac{7}{4}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\) \(-2^{\large\frac{7}{2}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\)\(-2^{\large\frac{8}{2}}=\)\(-2^4=-16\)

Відповідь: -16

32 завдання

32. Для роботи на уроках геометрії учню потрібно придбати лінійку й транспортир. У магазині канцелярських товарів у продажу є три види транспортирів та чотири види лінійок, а також два види наборів, що складаються з лінійки й транспортира. Скільки всього в учня є варіантів придбання лінійки й транспортира в цьому магазині?

Рішення:

\(3\) транспортира і \(4\) лінійки або \(2\) набору

\(\Large 3\cdot 4+2=14\)

Відповідь: 14

33 завдання

33. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом \(60^o\). Площа повної поверхні піраміди дорівнює \(54\sqrt{6}\)см\(^2\). Обчисліть площу (у см\(^2\)) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.

Рішення:

\(S_п=S_б+S_o\)
\(S_б=\frac{1}{2}P_ol\)
Оскільки \(ABCD\) квадрат, то \(S_б=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot l=2a\cdot l\), де \(l\) -апофема, \(a\) - сторона квадрата
\(S_o=a^2\)
\(h\) - середина \(CD\)
З \(∆SOH(∠O=90^o),\: ∠SHO=60^o\) -кут нахилу бічної грані, \(∠OSH=90^o-60^o=30^o\)
\(OH=\frac{1}{2}SH\), \(OH=\frac{1}{2}AB\)
Тоді \(SH=AB=a\)
\(S_п=2\cdot a\cdot a+a^2=3a^2\)
\(3a^2=54\sqrt{6}\)
\(a^2=18\sqrt{6}(см^2)\)
\(S_{перерізу}=S_{∆BOD}=\frac{1}{2}BD\cdot SO\)
\(BD=a\sqrt{2}\) - діагональ квадрата
\(SO=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}\) - висота піраміди
\(S_{∆BOD}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}\)
\(S_{∆BOD}=\frac{18\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{4}=\frac{18\cdot 6}{4}=27см^2\)

Відповідь: \(27\)

34 завдання

34. За якого значення параметра \(c\) найменше значення функції \(y=x^4-8x^2+c\) на відрізку \([-1; 3]\) дорівнює \(30\)?

Рішення:

\(y_{min}=30\)

\(y'=4x^3-8\cdot 2x=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)\)

Критичні точки:

\(\begin{array}\\x_1=0\\x_2=0\\x_3=-2 \notin [-1;3]\\\end{array}\)

\(\begin{matrix}\\y(2)=2^4-8\cdot 2^2+C=30\\16-32+C=30\\C=30+16\\C=46\\ \end{matrix}\)

Відповідь: 46

35 завдання

35. У трапеції \(ABCD (BC||AD)\) діагональ \(AC\) є бісектрисою гострого кута \(A\). Ця діагональ перетинає середню лінію трапеції в точці \(P\).

Доведіть, що \(∠APB=90^o\).
Обчисліть площу трапеції \(ABCD\), Якщо \(BC=5cм\), \(AD=13см\), площа трикутника \(APB\) дорівнює \(5см^2\).

Рішення:

Нехай \(ABCD\) - трапеція \(BC||AD\). \(AC\) - бісектриса \(∠A\). \(MN\) - середня лінія \(MN∩AC=P\).

Доведемо, що \(∠APB=90^o\)
\(∠DAC = ∠BCA\) - внутрішні різносторонні при \(BC||AD\) та січній \(AC\)
\(∠DAC=∠BAC\) - так як \(AC\) - бісектриса
Тоді \(∠BCA=∠BAC \Rightarrow ∆ABC\) рівнобедрений
За теоремою Фалеса \(AP=PC\), оскільки \(MP||BC,\: AM=BM\). Тоді \(BP\) -медіана рівнобедреного \(∆ABC\). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(BP\) - висота, отже \(∠APB=90^o\)
Нехай \(BC=5см,\: AD=13см, S_{∆ABC}=5см^2\). Обчислемо площу трапеції \(ABCD\)
\( S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot h\), де \(h\) - висота трапеції
\(S_{∆ABC}=2S_{∆APB}\)
\(S_{∆ABC}=2\cdot 5=10см^2\)
\(S_{∆ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h\)
\(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot h=10\)
\(h=20:5=4 см\).
\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}(5+13)\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 4=36 см^2\)

Відповідь: \(36см^2\)

36 завдання

36. Знайдіть усі значення параметра \(a\), за яких рівняння \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) має єдиний корінь.

Рішення:

Розв'язати це рівняння можливо графічним або аналітичним методом, так як рішення графічним методом показано учасникам пробного ЗНО, я розв'яжу рівняння аналітично. Вважаю що цей метод в даному випадку є більш складний, але буде корисним для Вас.

Рівняння: \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) рівносильне системі:

\(\left\{\begin{array} \\ax-3\geqslant 0\\ {(ax-3)^2=-x^2+18x-72}\\ \end{array}\right.\)

\(a^2x^2-6ax+9=-x^2+18x-72\)

\(a^2x^2+zx^2-6ax-18x+9+72=0\)

\( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)

Квадратне рівняння має розв'язки, якщо \(D\geqslant 0\)

\(D={(6a+18)}^2-4\cdot81(a^2+1)=36a^2+216a+324-324a^2-324=-288a^2+216a=-72a(4a-3)\)

\( -72a(4a-3)\geqslant 0\)

\(a_1=0\)

\(a_2=\Large\frac{3}{4}\)

при \(a\in \left [0; \Large\frac{3}{4} \normalsize \right ]\) рівняння має розв'язки:

\(x_{1,2}=\Large \frac{6a+18±\sqrt{-288a^2+216a}}{2(a^2+1)}\),

Якщо \(D=0, a=0, a=\Large \frac{3}{4}\), то квадратне рівняння має один розв'язок.

Перевіримо умову \(ax-3\geqslant 0\). При \(a=0\) не виконується, так як \(0\cdot x-3 \leqslant 0\)

При \(a=\Large \frac{3}{4}\), маємо

\(\begin{matrix} \Large\frac{3}{4}\normalsize x-3 \geqslant 0 \\ 3x\geqslant 12 \\ x \geqslant 4 \end{matrix} \)

Підставимо \(a=\Large \frac{3}{4}\), \(x=\require{cancel} \Large \frac{6\cdot \LARGE \frac{3}{4} \Large+18}{2\left ( {\left (\LARGE\frac{3}{4}\Large\right )}^2+1\right )}\normalsize = \Large \frac{\LARGE\frac{9}{2}\Large +18}{2\left ( \LARGE\frac{9}{16}\Large+1\right )}\normalsize = \Large \frac{36}{5}\normalsize = 7,2\geqslant 4 \) - виконується при \(a=\Large \frac{3}{4}\)

Квадратне рівняння \( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)

матиме тільки один корінь також в випадку, якщо один з коренів задовольняє умові \(ax-3\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant\Large\frac{3}{a}\normalsize (a>0)\), а інший не задовольняє.

Розглянемо квадратичну функцію \(y=(a^2+1)x^2-(6a+18)x+81=0\)

\(x_1<x_2\) - корені тричлена, \(a^2+1>0\), \(x_1<\Large \frac{3}{a}\normalsize \leqslant x_2\). Тоді \(f\left (\Large \frac{3}{a}\normalsize \right) \leqslant 0\)

\(\begin{matrix}\Large \frac{9}{a^2} \normalsize \left ( a^2+1 \right ) - \Large \frac{3}{a}\normalsize \left ( 6a+18 \right ) + 81 \leqslant 0 \mbox{ | }\cdot a^2 ≠0 \\
9a^2+9-3a(6a+18)+81a^2\leqslant 0 \\ 9a^2-18a^2+81a^2+9-54a \leqslant 0 \\ 72a^2-54a+9 \leqslant 0 \\ 8a^2-6a+1 \leqslant 0\\ a_1=\Large \frac{1}{4}\normalsize , a_2=\Large \frac{1}{2} \end{matrix}\)

\(a \in \left [\Large\frac{1}{4};\frac{1}{2}\normalsize \right ]\)

При \(a=\Large\frac{1}{4}\) маємо \(\left \{ \begin{array} \\ \Large\frac{x}{4}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 17x^2-312x+1296=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 12 \\ \left [ \begin{array} \\ x_1=12 \\ x_2=6\Large\frac{6}{7}\normalsize \mbox{ не задовольняє умові} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x_1=12 \mbox { - один корінь}\)

При \(a=\Large\frac{1}{2}\) маємо \(\left \{ \begin{array} \\ \Large\frac{x}{2}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 5x^2-84x+324=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 6 \\ \left [ \begin{array} \\ x_1=6 \\ x_2=10,8 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow \mbox { два корені}\)

Отже остаточно при \(a \in [0,25; 0,5)∪\{0,75\}\) рівняння має один корінь.