Пробне ЗНО 2015. Математика — МАТЕМАТИЧКА - Репетитор Буцикіна Наталя
3НО

Пробне ЗНО 2015. Математика

На цьому відео уроці ми розв'язуємо завдання пробного ЗНО з математики 2015р базового рівня (Завдання 1 - 30). Рішення задач поглибленого рівня (Завдання 31 - 36) виконані у текстовому вигляді і приведені нижче

 

Розв'язок завдань 1-30 (базовий рівень):

 


Розв'язок завдань 31-36 (поглиблений рівень):

На цьому відео уроці ми розв'язуємо завдання пробного ЗНО з математики 2015р базового рівня (Завдання 1 - 30). Рішення задач поглибленого рівня (Завдання 31 - 36) виконані у текстовому вигляді і приведені нижче

 

Розв'язок завдань 1-30 (базовий рівень):

 


Розв'язок завдань 31-36 (поглиблений рівень):

31 завдання

31. Обчисліть значення виразу \(\Large\frac{a^3+b^3}{a+b}-\)\((a^2+b^2)\), якщо \(a=4^{\large\frac{7}{4}}, b=2^{\large\frac{1}{2}}\)

Рішення:

\(\Large\frac{a^3+b^3}{a+b}-\)\((a^2+b^2)\)= \(\require{cancel} \Large\frac{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}{\cancel{(a+b)}}-\)\((a^2+b^2)=\)\(a^2-ab+b^2-a^2-b^2=-ab\),

 

якщо \(a=4^{\large\frac{7}{4}}, b=2^{\large\frac{1}{2}}\), тоді \(-4^{\large\frac{7}{4}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\)\(-{(2^2)}^{\large\frac{7}{4}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\) \(-2^{\large\frac{7}{2}}\cdot2^{\large\frac{1}{2}}=\)\(-2^{\large\frac{8}{2}}=\)\(-2^4=-16\)

 

Відповідь: -16

32 завдання

32. Для роботи на уроках геометрії учню потрібно придбати лінійку й транспортир. У магазині канцелярських товарів у продажу є три види транспортирів та чотири види лінійок, а також два види наборів, що складаються з лінійки й транспортира. Скільки всього в учня є варіантів придбання лінійки й транспортира в цьому магазині?

Рішення:

\(3\) транспортира і \(4\) лінійки або \(2\) набору
\(\Large 3\cdot 4+2=14\)

Відповідь: 14

33 завдання

33. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом \(60^o\). Площа повної поверхні піраміди дорівнює \(54\sqrt{6}\)см\(^2\). Обчисліть площу (у см\(^2\)) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.

Рішення:

  \(S_п=S_б+S_o\)
\(S_б=\frac{1}{2}P_ol\)
Оскільки \(ABCD\) квадрат, то \(S_б=\frac{1}{2}\cdot 4a\cdot l=2a\cdot l\), де \(l\) -апофема, \(a\) - сторона квадрата
\(S_o=a^2\)
\(h\) - середина \(CD\)
З \(∆SOH(∠O=90^o),\: ∠SHO=60^o\) -кут нахилу бічної грані, \(∠OSH=90^o-60^o=30^o\)
\(OH=\frac{1}{2}SH\), \(OH=\frac{1}{2}AB\)
Тоді \(SH=AB=a\)
\(S_п=2\cdot a\cdot a+a^2=3a^2\)
\(3a^2=54\sqrt{6}\)
\(a^2=18\sqrt{6}(см^2)\)
\(S_{перерізу}=S_{∆BOD}=\frac{1}{2}BD\cdot SO\)
\(BD=a\sqrt{2}\) - діагональ квадрата
\(SO=\frac{a\cdot \sqrt{3}}{2}\) - висота піраміди
\(S_{∆BOD}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{4}\)
\(S_{∆BOD}=\frac{18\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}{4}=\frac{18\cdot 6}{4}=27см^2\)

Відповідь: \(27\)

34 завдання

34. За якого значення параметра \(c\) найменше значення функції \(y=x^4-8x^2+c\) на відрізку \([-1; 3]\) дорівнює \(30\)?

Рішення:

\(y_{min}=30\)

\(y'=4x^3-8\cdot 2x=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)\)

Критичні точки:

\(\begin{array}\\x_1=0\\x_2=0\\x_3=-2 \notin [-1;3]\\\end{array}\)

\(\begin{matrix}\\y(2)=2^4-8\cdot 2^2+C=30\\16-32+C=30\\C=30+16\\C=46\\ \end{matrix}\)

Відповідь: 46

35 завдання

35. У трапеції \(ABCD (BC||AD)\) діагональ \(AC\) є бісектрисою гострого кута \(A\). Ця діагональ перетинає середню лінію трапеції в точці \(P\).

  1. Доведіть, що \(∠APB=90^o\).
  2. Обчисліть площу трапеції \(ABCD\), Якщо \(BC=5cм\), \(AD=13см\), площа трикутника \(APB\) дорівнює \(5см^2\).

Рішення:

 Нехай \(ABCD\) - трапеція \(BC||AD\). \(AC\) - бісектриса  \(∠A\). \(MN\) - середня лінія \(MN∩AC=P\).
  1. Доведемо, що  \(∠APB=90^o\)
     \(∠DAC = ∠BCA\) - внутрішні різносторонні при \(BC||AD\) та січній \(AC\)
    \(∠DAC=∠BAC\) - так як \(AC\) - бісектриса
    Тоді \(∠BCA=∠BAC \Rightarrow ∆ABC\) рівнобедрений
    За теоремою Фалеса \(AP=PC\), оскільки \(MP||BC,\: AM=BM\). Тоді \(BP\) -медіана рівнобедреного \(∆ABC\). За властивістю рівнобедреного трикутника, \(BP\) - висота, отже \(∠APB=90^o\)
  2. Нехай \(BC=5см,\: AD=13см, S_{∆ABC}=5см^2\). Обчислемо площу трапеції \(ABCD\)
    \( S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot h\), де \(h\) - висота трапеції
    \(S_{∆ABC}=2S_{∆APB}\)
    \(S_{∆ABC}=2\cdot 5=10см^2\)
    \(S_{∆ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h\)
    \(\frac{1}{2}\cdot 5\cdot h=10\)
    \(h=20:5=4 см\).
    \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}(5+13)\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 4=36 см^2\)

Відповідь: \(36см^2\)

36 завдання

36. Знайдіть усі значення параметра \(a\), за яких рівняння \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) має єдиний корінь.

Рішення:

Розв'язати це рівняння можливо графічним або аналітичним методом, так як рішення графічним методом показано учасникам пробного ЗНО, я розв'яжу рівняння аналітично. Вважаю що цей метод в даному випадку є більш складний, але буде корисним для Вас.
Рівняння: \(ax-3=\sqrt{-x^2+18x-72}\) рівносильне системі:

\(\left\{\begin{array} \\ax-3\geqslant 0\\ {(ax-3)^2=-x^2+18x-72}\\ \end{array}\right.\)

\(a^2x^2-6ax+9=-x^2+18x-72\)
\(a^2x^2+zx^2-6ax-18x+9+72=0\)
\( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)

Квадратне рівняння має розв'язки, якщо \(D\geqslant 0\)
\(D={(6a+18)}^2-4\cdot81(a^2+1)=36a^2+216a+324-324a^2-324=-288a^2+216a=-72a(4a-3)\)
\( -72a(4a-3)\geqslant 0\)
\(a_1=0\)
\(a_2=\Large\frac{3}{4}\)
 
 
при \(a\in \left [0; \Large\frac{3}{4} \normalsize \right ]\) рівняння має розв'язки:
 
\(x_{1,2}=\Large \frac{6a+18±\sqrt{-288a^2+216a}}{2(a^2+1)}\),
 
Якщо \(D=0, a=0, a=\Large \frac{3}{4}\), то квадратне рівняння має один розв'язок.
Перевіримо умову \(ax-3\geqslant 0\). При \(a=0\) не виконується, так як \(0\cdot x-3 \leqslant 0\)
 
При \(a=\Large \frac{3}{4}\), маємо
\(\begin{matrix} \Large\frac{3}{4}\normalsize x-3 \geqslant 0 \\ 3x\geqslant 12 \\ x \geqslant 4 \end{matrix} \)
 
Підставимо \(a=\Large \frac{3}{4}\), \(x=\require{cancel} \Large \frac{6\cdot \LARGE \frac{3}{4} \Large+18}{2\left ( {\left (\LARGE\frac{3}{4}\Large\right )}^2+1\right )}\normalsize = \Large \frac{\LARGE\frac{9}{2}\Large +18}{2\left ( \LARGE\frac{9}{16}\Large+1\right )}\normalsize = \Large \frac{36}{5}\normalsize = 7,2\geqslant 4 \) - виконується при \(a=\Large \frac{3}{4}\)
 
Квадратне рівняння \( x^2(a^2+1)-x(6a+18)+81=0\)
матиме тільки один корінь також в випадку, якщо один з коренів задовольняє умові  \(ax-3\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant\Large\frac{3}{a}\normalsize (a>0)\), а інший не задовольняє.
 
Розглянемо квадратичну функцію  \(y=(a^2+1)x^2-(6a+18)x+81=0\)
\(x_1<x_2\) - корені тричлена, \(a^2+1>0\), \(x_1<\Large \frac{3}{a}\normalsize \leqslant x_2\). Тоді \(f\left (\Large \frac{3}{a}\normalsize \right) \leqslant 0\)
 
 
\(\begin{matrix}\Large \frac{9}{a^2} \normalsize \left ( a^2+1 \right ) - \Large \frac{3}{a}\normalsize \left ( 6a+18 \right ) + 81 \leqslant 0 \mbox{ | }\cdot a^2 ≠0 \\
9a^2+9-3a(6a+18)+81a^2\leqslant 0 \\ 9a^2-18a^2+81a^2+9-54a \leqslant 0 \\ 72a^2-54a+9 \leqslant 0 \\ 8a^2-6a+1 \leqslant 0\\ a_1=\Large \frac{1}{4}\normalsize , a_2=\Large \frac{1}{2} \end{matrix}\)
 
 
 
\(a \in \left [\Large\frac{1}{4};\frac{1}{2}\normalsize \right ]\)
 
При \(a=\Large\frac{1}{4}\) маємо \(\left \{  \begin{array} \\ \Large\frac{x}{4}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 17x^2-312x+1296=0 \end{array}  \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 12 \\  \left [ \begin{array} \\ x_1=12 \\ x_2=6\Large\frac{6}{7}\normalsize \mbox{      не задовольняє умові} \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow x_1=12 \mbox { - один корінь}\)
 
При \(a=\Large\frac{1}{2}\) маємо \(\left \{  \begin{array} \\ \Large\frac{x}{2}\normalsize-3 \geqslant 0 \\ 5x^2-84x+324=0 \end{array}  \right. \Rightarrow \left \{ \begin{array} \\ x\geqslant 6 \\   \left [ \begin{array} \\ x_1=6 \\ x_2=10,8 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow \mbox { два корені}\)
 
Отже остаточно при \(a \in [0,25; 0,5)∪\{0,75\}\) рівняння має один корінь.
 

Відповідь: \( [0,25; 0,5)∪\{0,75\}\)



Коментарі   

# Vit 27.10.2015, 21:45
Дуже дякуємо!!!
Відповісти | Відповісти цитуючи | Цитата
# Butsykina Natalya 10.06.2015, 21:53
Шановні учні!
Дякую за вашу увагу і відгуки.
Бажаю всім гарно скласти ЗНО.
Хвилююсь за кожного.
Все буде добре!!!
Відповісти | Відповісти цитуючи | Цитата
+1 # Назар 10.06.2015, 21:37
Щиро дякую за гарне розв`язання тесту))
Відповісти | Відповісти цитуючи | Цитата
+2 # Butsykina Natalya 23.04.2015, 19:02
Дякуємо Галині за її питання.
Сподіваємося і надалі отримувати Ваші побажання та зауваження.
Відповісти | Відповісти цитуючи | Цитата

Додати коментар

Захисний код
Оновити

ВЕБІНАР "АЛГЕБРАЇЧНІ ФУНКЦІЇ"

Шановні учні, запрошуємо Вас на безкоштовний вебінар за темою "Алгебраїчні функції"
Час проведення: 23 вересня 2018р. 16:00 - 17:00
Будемо розглядати питання:
  1. Функція. Означення і основні поняття.
  2. Основні властивості функції.
  3. Побудова графіків функцій.


Прийняти участь

Демонстраційні уроки

ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ МНОГОКУТНИКIВ

ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩ МНОГОКУТНИКIВ

БІКВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

БІКВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ЧИСЛА

СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД ЧИСЛА

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

РІВНЯННЯ КОЛА

РІВНЯННЯ КОЛА

НАЙПРОСТІШІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З МОДУЛЕМ

НАЙПРОСТІШІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З МОДУЛЕМ

ПРОБНЕ ЗНО 2015. МАТЕМАТИКА

ПРОБНЕ ЗНО 2015. МАТЕМАТИКА

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ ЗНО 2015. БАЗОВИЙ РІВЕНЬ

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ ЗНО 2015. БАЗОВИЙ РІВЕНЬ

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ ЗНО 2015. ПОГЛИБЛЕННИЙ РІВЕНЬ

РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ ЗНО 2015. ПОГЛИБЛЕННИЙ РІВЕНЬ

ПРОБНЕ ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА.
РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ (1-30)

ПРОБНЕ ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА. РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ (1-30)

ПРОБНЕ ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА.
РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

ПРОБНЕ ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА. РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ

ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА.
РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ (1-30)

ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА. РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ (1-30)

ЗНО 2016. МАТЕМАТИКА.
РОЗВ'ЯЗОК ЗАДАЧ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ